روش میانگین حسابی ماتریس
تا کنون در مجله فرادرس، مقالات و آموزش‌های متنوعی را در موضوع «روش میانگین حسابی ماتریس» منتشر کرده ایم. در ادامه برخی از این مقالات مرتبط با این موضوع لیست شده اند. برای مطالعه هر مقاله، لطفا روی عنوان آن کلیک کنید.
در دنیایی با پیچیدگی روزافزون، اتخاذ بهترین تصمیمات به مسئله دشواری برای مدیران شرکت‌ها، سازمان‌های دولتی، سیاست‌گذاران و سایر تصمیم‌گیرندگان تبدیل شده است و آنها…
با فرادرس
آموزش‌های ویدئویی فرادرس
همراه شوید
سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود. فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید. مشاهده بیشتر
هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.
© فرادرس ۱۴۰۱
آموزش میانگین حسابی به زبان ساده
در این مقاله قصدداریم علاوه بر آموزش میانگین حسابی به این سوال که میانگین حسابی چیست به زبان ساده پاسخ دهیم .میانگین حسابی ساده‌ترین و پرکاربردترین اندازه گیری میانگین یا متوسط است. این به سادگی شامل جمع یک گروه از اعداد، و سپس تقسیم آن مبلغ بر تعداد اعداد به کار رفته در سری است. به عنوان مثال، اعداد ۳۴.۴۴، ۵۶ و ۷۸ را در نظر بگیرید. مجموع آن ۲۱۲ است. میانگین حسابی ۲۱۲ تقسیم بر چهار یا ۵۳ است.
مردم همچنین از چندین نوع وسیله دیگر مانند میانگین هندسی و میانگین هارمونیک استفاده می‌کنند که در شرایط خاص در امور مالی و سرمایه‌گذاری به کار گرفته میشود. مثال دیگر، میانگین کوتاه شده است که هنگام محاسبه داده‌های اقتصادی مانند شاخص قیمت مصرف کننده (CPI) و هزینه‌های مصرف شخصی (PCE) استفاده میشود.
نکات کلیدی آموزش میانگین حسابی
- میانگین حسابی میانگین ساده یا مجموع یک سری اعداد تقسیم بر تعداد آن سری اعداد است.
- میانگین حسابی معمولاً روش مناسبی برای محاسبه میانگین نیست، به ویژه هنگامی که یک واحد جداگانه می‌تواند میانگین را به مقدار زیادی منحرف کند.
- میانگین‌های دیگر که بیشتر در امور مالی استفاده میشود شامل میانگین هندسی و هارمونیک است.
چگونه میانگین‌حسابی کار می‌کند
میانگین حسابی نیز جایگاه خود را در امور مالی حفظ می‌کند. به عنوان مثال، برآورد میانگین سود معمولاً یک میانگین حسابی است. فرض کنید میخواهید میانگین درآمد سود ۱۶ تحلیلگر را که یک سهام خاص را پوشش می‌دهند، بدانید. به سادگی تمام برآوردها را جمع کرده و بر ۱۶ تقسیم کنید تا میانگین حسابی به دست آید.
اگر میخواهید میانگین قیمت بسته شدن سهام در طول یک ماه خاص را محاسبه کنید، همین امر صادق است. بگویید ۲۳ روز معاملاتی در ماه وجود دارد. به سادگی همه قیمت‌ها را بگیرید، آنها را جمع کنید و بر ۲۳ تقسیم کنید تا میانگین حساب به دست آید.
میانگین حسابی ساده است و اکثر افراد حتی با کمی مهارت مالی و ریاضی میتوانند آن را محاسبه کنند. این همچنین یک معیار مفید برای گرایش مرکزی است، زیرا می‌تواند نتایج مفیدی را ارائه دهد، حتی با گروه‌های بزرگ اعداد.
محدودیت‌های میانگین حسابی
میانگین حسابی همیشه ایده آل نیست، به ویژه هنگامی که یک فرد جداگانه می‌تواند میانگین را به مقدار زیادی منحرف کند. فرض کنید میخواهید کمک هزینه گروهی از ۱۰ کودک را تخمین بزنید. نه نفر از آنها مبلغی بین ۱۰ تا ۱۲ دلار در هفته دریافت می‌کنند. بچه دهم ۶۰ دلار کمک هزینه دریافت می‌کند. میانگین محاسبه آن ۱۶ دلار است که این خیلی نمایانگر گروه نیست.
در این مورد خاص، کمک هزینه متوسط ۱۰ ممکن است معیار بهتری باشد.
میانگین حسابی هنگام محاسبه عملکرد پرتفوی سرمایه‌گذاری، به ویژه هنگامی که شامل ترکیب یا سرمایه‌گذاری مجدد سود سود است، عالی نیست. همچنین عموماً برای محاسبه جریانهای نقدی فعلی و آینده که تحلیلگران در برآورد خود از آن استفاده می‌کنند، استفاده نمی‌شود. انجام این کار تقریباً به اعداد گمراه کننده منجر میشود.
میانگین حسابی می‌تواند گمراه کننده باشد در مواردی که موارد بیرونی وجود دارد یا وقتی به بازده تاریخی نگاه میکنیم. میانگین هندسی برای سری‌هایی که همبستگی سریالی را نشان می‌دهند مناسب‌ترین است. این امر به ویژه در مورد سبد سرمایه‌گذاری صادق است.
میانگین حسابی در مقابل میانگین هندسی
برای این کاربردها، تحلیلگران تمایل به استفاده از میانگین هندسی دارند که متفاوت محاسبه میشود. میانگین هندسی برای سری‌هایی که همبستگی سریالی را نشان می‌دهند مناسب‌ترین است. این امر به ویژه در مورد سبد سرمایه‌گذاری صادق است.
بیشتر بازدهی در امور مالی از جمله بازده اوراق قرضه، بازده سهام و حق بیمه ریسک بازار با هم مرتبط هستند. هرچه افق زمانی بیشتر باشد، ترکیب و استفاده از میانگین هندسی بحرانی‌تر میشود. برای اعداد فرار، میانگین هندسی با در نظر گرفتن ترکیب سال به سال، اندازه گیری بسیار دقیق‌تری از بازده واقعی را فراهم می‌کند.
میانگین هندسی حاصل تمام اعداد موجود در سری را گرفته و آن را به معکوس طول سری افزایش می‌دهد. این کار با دست بیشتر سخت است، اما محاسبه آن در Microsoft Excel با استفاده از عملکرد GEOMEAN آسان است.
میانگین هندسی با میانگین‌حسابی یا میانگین حسابی در نحوه محاسبه تفاوت دارد (نحوه استفاده از CCI)زیرا ترکیبی را که از دوره به دوره رخ می‌دهد در نظر می‌گیرد. به همین دلیل، سرمایه گذاران معمولاً میانگین هندسی را اندازه گیری دقیق‌تری از بازده نسبت به میانگین حسابی می‌دانند.
نمونه‌ای از میانگین حسابی در مقابل میانگین هندسی
فرض کنید بازده سهام در پنج سال گذشته ۲۰، ، ۶، ، -۱۰، ، -۱، و ۶ است. میانگین حسابی به سادگی آنها را جمع کرده و بر پنج تقسیم می‌کند و میانگین بازدهی سالانه ۴.۲٪ را به همراه دارد.
میانگین هندسی در عوض (۱.۲ ۱.۰ ۱.۰۶ x ۰.۹ ۹.۰. ۹.۱. ۰ ۱.۰۶ ۱.۲ ۱.۰۶) ۱/۵ -۱ = ۳.۷۴ بازده متوسط سالانه محاسبه میشود. توجه داشته باشید که میانگین هندسی، محاسبه دقیق‌تر در این مورد، همیشه کوچکتر از میانگین حسابی خواهد بود.
جمع بندی آموزش میانگین حسابی
همان طور که متوجه شدید میانگین حسابی نسبت به میانگین هندسی(میانگین متحرک یا MA چیست؟) معایب و مزایایی دارد که هر کدام نسبت به موضوع ای که ما نیاز به محاسبه میانگین داریم میتوانند به ما کمک کنند.
محاسبه میانگین هندسی (میانگین بازدهی دارایی)
در این پست در مورد محاسبه میانگین هندسی اعداد رشدی (میانگین گرفتن از بازده دارایی‌ها) صحبت میکنیم، احتمالا خیلی از دوستان با این موضوع آشنا باشن ولی اگر آشنا نیستید میتونید ادامه این نوشته رو بخونید.
جدول زیر (1) مقدار شاخص کل در پایان هر ماه در سال 1399 رو نشون میده.
تصویر 1 - مقدار و بازدهی ماهانه شاخص کل
سوال: شاخص کل به طور میانگین هر ماه چند درصد رشد داشته؟
اگر اعداد رو به 2 قسمت در سطح (Level) و رشد (Growth) تقسیم کنیم، نحوه میانگین گرفتن از این اعداد متفاوت خواهد بود.
فرض کنید میخواهید میانگین موجودی حساب افراد حاضر (در یک مقطع از زمان) در داخل اتاق (فرضی) را حساب کنید. موجودی‌ها به شرح جدول زیر میباشد.
تصویر 2 - موجودی حساب فرضی
اعداد در این مثال از جنس سطح هستند و بوسیله میانگین حسابی (فرمول زیر) قابل محاسبه هستند و عدد 250 حاصل میشود. معنی ضمنی این عدد به این معنی میباشد که انگار 4 نفر در اتاق داریم که هر کدام 250 تومان موجودی دارند.
تصویر 3 - فرمول میانگین حسابی
حال به سراغ میانگین هندسی میرویم، میخواهیم بدانیم شاخص کل در سال 1399 هر ماه به طور میانگین چند درصد رشد کرده است؟ در این مثال 12 عدد (ماه) در سطح و 11 عدد رشدی داریم.
تصویر 4 - شمارش دوره‌های رشد
معنی ضمنی میانگین هندسی بدین معنا میباشد که عدد 690,037 (مقدار شاخص در فروردین) باید 11 بار با "یک نرخی" رشد کند تا به عدد 1,307,701 (مقدار شاخص در اسفند) برسیم. این نرخ رو چجوری محاسبه کنیم؟
بیایید از اعداد رشد، میانگین هندسی بگیریم و ببینیم که آیا به هدف مورد نظر میرسیم یا نه؟
میانگین حسابی این اعداد 8.1% میشه. خب حال عدد اول دوره رو 11 بار با نرخ 8.1% رشد میدیم، میرسیم به عدد 1,623,855 ! میبینیم که این عدد مساوی مقدار شاخص در پایان اسفند نیست پس این روش غلط میباشد.
تصویر 5 - عدد پایانی اشتباه با میانگین حسابی
خب حالا چجوری میانگین هندسی بگیریم؟ در این مثال به 2 روش میشه میانگین هندسی رو حساب کرد:
روش اول: با استفاده از عدد اول و آخر دوره.
تصویر 6 - فرمول میانگین هندسی
در فرمول بالا عدد (n-1) همان تعداد دوره‌های رشد (11 دوره) میباشد.
روش دوم: با استفاده از اعداد رشد.
اعداد رشد را بعلاوه یک میکنیم و این اعداد را وارد فرمول GEOMEAN در اکسل میکنیم و سپس عدد حاصل را منهای یک میکنیم.
تصویر 7 - فرمول میانگین هندسی
همانطور که در تصویر بالا مشاهده میکنید میانگین هندسی 6.0% میباشد. حال اگر عدد اول دوره رو با 6.0% به تعداد 11 بار رشد بدهیم به عدد پایان دوره میرسیم.
تصویر 8 - عدد پایانی درست با میانگین هندسی
یعنی شاخص کل بورس تهران در سال 1399، میانگین ماهیانه با نرخ 6% رشد کرده است.
میانگین بازدهی پورتفو دارایی رو هم به همین روش میشه حساب کرد.
نکته کنکوری بگم اگر صرفا به اعداد نرخ رشد دسترسی داشته باشید و به اعداد مطلق دسترسی ندارید، نمیتونید از روش اول استفاده کنید و صرفا باید از روش دوم استفاده کنید. مثلا فرض کنید صرفا اعداد نرخ تورم رو در دسترس دارید و مقدار خود شاخص قیمت مصرف‌کننده موجود نیست.
تفاوت میانگین حسابی، میانگین هندسی، میانگین وزنی و میانگین هارمونیک
میانگین، یک ابزار آماری است که تقریبا در همه جا بطور گسترده از آن استفاده می شود. ساده ترین نحوه محاسبه میانگین مربوط به میانگین حسابی است. در این نوع میانگین، چندین رقم با یکدیگر جمع و تقسیم بر تعداد رقم ها می شود. محاسبه میانگین حسابی بسیار ساده است. اما انواع دیگری از میانگین ها شامل میانگین هندسی، میانگین موزون یا وزنی و میانگین هارمونیک نیز وجود دارند که محاسبه آنها اندکی پیچیده تر است.
گاهی اوقات در مباحث مالی، یک میانگین ساده حسابی نمی تواند توصیف خوبی از میانگین به ما بدهد و لازم است تا از سایر انواع میانگین ها استفاده کنیم. درک تفاوت این چهار نوع میانگین برای افرادی که در زمینه مالی فعالیت می کنند بسیار حائز اهمیت است. همچنین اگر تمایل به شرکت در آزمون های بین المللی مالی مانند CFA و FRM دارید حتما بایستی این مفاهیم را به خوبی فرا بگیرید.
با توجه به سادگی محاسبه میانگین حسابی، بیش از این درباره آن بحث نمی کنیم و به سراغ انواع دیگر میانگین می رویم. همچنین در بحث آمار، علامت N به معنی کل تعداد مشاهدات و Xi به معنی رقم i ام در سری مشاهدات ما می باشد.
میانگین هندسی
میانگین هندسی جهت تعیین میانگین تغییرات چندین درصد مختلف در یک بازه زمانی مورد استفاده قرار می گیرد. برای مثال، میانگین بازده سبد سرمایه گذاری یا یک سهم می تواند از طریق میانگین هندسی محاسبه شود.
جهت محاسبه میانگین هندسی بایستی ابتدا عدد یک را به هر کدام از درصدها اضافه کنیم. سپس اعداد بدست آمده را در هم ضرب کرده و حاصل آن را به توان می رسانیم. از آنجاییکه عدد یک را با تک تک مشاهدات جمع کرده بودیم در روش میانگین حسابی انتها کسر می کنیم. بعد می توانید جواب را در 100 ضرب کنیم و میانگین را به درصد بیان کنیم.
علت افزودن عدد یک به نرخ ها این است که اگر بازده یک دوره منفی یا صفر باشد نمی توانیم آن را به توان (جذر با ریشه N) برسانیم.
مثال: بازده یک سبد سرمایه گذاری در 4 سال متوالی به ترتیب 8%، 4%، 2%- و 6% می باشد. میانگین هندسی و میانگین حسابی برای این سرمایه گذاری به شرح زیر خواهد بود.
4% = 4/(8%+4%-2%+6%) = میانگین حسابی 3.93%= 100* 1- [(1/4)^(1.06* 0.98* 1.04* 1.08)] = میانگین هندسی
اختلاف این دو میانگین برابر 0.07% می باشد.
میانگین موزون یا میانگین وزنی
نوع دیگری از میانگین که معمولا در بحث مالی به ویژه در زمان محاسبه بازده یک پرتفوی در بازه مشخص، مورد استفاده قرار می گیرد میانگین موزون می باشد. زمانیکه میانگین حسابی محاسبه می شود همه مشاهدات دارای وزن یکسانی هستند. اما در زمان محاسبه میانگین موزون، هر مشاهده دارای وزن متفاوتی است. جهت محاسبه میانگین موزون ابتدا وزن هر رقم در آن ضرب می شود و سپس ارقام بدست آمده با هم جمع می شوند.
مثال: یک تحلیلگر می خواهد بازده یک پرتفوی 1 میلیون دلاری که از سه دارایی تشکیل شده است را محاسبه کند. دارایی های پرتفوی شامل 500،000 دلار سهام، 350،000 دلار اوراق قرضه و 150،000 دلار سهام شرکتهای خارجی می باشد. میزان بازده سهام داخلی 8%، اوراق قرضه 3% و سهام بین المللی 12% می باشد. حال، بازده کل پرتفوی چقدر است؟
ابتدا بایستی وزن هر دارایی در سبد سرمایه گذاری را بیابیم. برای این کار، مبلغ اولیه هر سرمایه گذاری تقسیم بر کل مبلغ سرمایه گذاری می شود. بدین ترتیب، وزن سهام برابر 50%، اوراق قرضه برابر با 15% و سهام خارجی 35% می باشد. حال کافی است وزن هر دارایی در بازده آن دارایی ضرب و حاصل با یکدیگر جمع شوند.
6.85% = 100* [(0.12*0.15)+(0.3*0.35)+(0.08*0.5)] = میانگین وزنی
میانگین هارمونیک
استفاده از میانگین هارمونین تنها زمانی مفید است که نرخ های روش میانگین حسابی مختلف بر روی یک رقم ثابت اعمال می شوند. جهت محاسبه میانگین هارمونیک، عدد 1 را بر تک تک مشاهدات تقسیم می کنیم. سپس اعداد بدست آمده را با هم جمع می کنیم. در نهایت، با تقسیم تعداد مشاهدات(N) بر مجموع بدست آمده، میانگین هارمونیک بدست خواهد آمد.
یک نمونه از کاربردهای میانگین هارمونیک زمانی است که سرمایه گذار، یک سهم را در قیمت های مختلف خریداری کرده است و می خواهد میانگینی از بهای خرید را محاسبه کند.
مثال: یک مشاور مالی قصد دارد میانگین بهای خرید دارایی یکی از مشتریانش را که محاسبه کند. مشتری در سه ماه متوالی، هر ماه رقم 2،000 دلار را به خرید یک ورقه بهادار اختصاص داده است. قیمت های خریداری شده به ترتیب 25، 29 و 27 دلار بوده است. میانگین قیمت پرداخت شده برای این ورقه بهادار چقدر بوده است؟
26.9$ = 3 /(1/25 + 1/29 + 1/27) = میانگین هارمونیک
سخن آخر
یک میانگین ساده حسابی همیشه نمی تواند راه حل مسئله ما باشد. علاوه بر میانگین های اشاره شده در این پست، انواع دیگر میانگین نیز وجود دارد. برای مثال، زمانیکه میانگین داده های عظیم با مشاهدات پراکنده تجزیه و تحلیل می شود از “میانگین خلاصه شده (Trimmed mean)” یا “میانگین وینزورایزد (Winsorized mean)” استفاده می شود. همچنین در تحلیل نمودار ممکن است از میانگین نمایی استفاده شود که به مشاهدات آخر، وزن بیشتری داده می شود.
بنابراین با توجه به شرایط بایستی بهترین نوع از انواع میانگین را انتخاب کنیم. در غیر این صورت، نتیجه تحلیل می تواند گمراه کننده باشد.
اگر این مطلب براتون مفید بود امتیاز بدین!
برای امتیاز روی ستاره ها کلیک کنید
امتیاز 3.3 / 5. تعداد آرا 47
شما اولین نفری هستید که به این پست امتیاز میدین!
تفاوت ماینر ASIC و ماینر GPU در استخراج ارزهای دیجیتال
انواع سرمایه گذاران از نظر ریسک گریزی
ساسان پرهون
کارشناسی حسابداری- دارای گواهینامه های حرفه ای سازمان بورس- پنج سال سابقه فعالیت در کارگزاری بورس با سمت معامله گر کالا و اوراق بهادار
رابطه بین میانگین حسابی، هندسی و همساز
در محاسبه میانگین برای انواع مقادیر، ممکن است از میانگین حسابی، میانگین هندسی یا میانگین همساز کمک گرفت. درک تفاوتی که شیوه محاسبه هر یک از این میانگین‌ها دارد، کمک می‌کند تا به شکل درست از آنها استفاده شود. در ادامه خصوصیات و ویژگی‌های هر یک از انواع میانگین را بررسی و رابطه بین میانگین حسابی، هندسی و همساز را مرور میکنیم.
میانگین حسابی
اگر داده‌ها به صورت تصاعد حسابی باشند، «میانگین حسابی» (Arithmetic Mean- AM) با نقطه وسط داده‌ها (میانه) برابر است. به همین علت نام این نوع میانگین را حسابی گذاشته‌اند زیرا با تصاعد حسابی در رابطه است. همچنین از نظر هندسی میانگین حسابی دو عدد a و b، شعاع دایره‌ای با قطر a+b است. از نظر دیگر میانگین حسابی را می‌توان نقطه‌ای در نظر گرفت که متوسط فاصله نقاط از آن برابر با صفر باشد.
متوسط فاصله مقدارهای ۱،۴،3،0 از میانگینشان برابر با صفر است. زیرا اگر میانگین را با $$\bar x$$ نشان دهیم، $$\bar x = 2$$ و اگر فاصله از میانگین محاسبه شود، داریم: 2-=2-0، 1=2-3، 2=2-4، 1-=2-1 که مجموعشان برابر با صفر است در نتیجه متوسط فاصله نسبت به میانگین برابر با صفر خواهد شد.
نکته: برای محاسبه فاصله، از تفاضل استفاده شده است.
این موضوع فقط مربوط به مثال ما نیست و این قاعده همیشه صادق است:
متوسط فاصله داده‌ها از میانگینشان برابر با صفر است.
خصوصیات
با افزایش یا کاهش مقدار ثابت از داده‌ها، میانگین حسابی نیز تحت تاثیر قرار گرفته و به همان میزان، افزایش یا کاهش می‌یابد. بنابراین اگر داده‌ها را با x نشان دهیم و y=a+x باشد میانگین y برحسب میانگین x قابل محاسبه است:
$$\bar y = a + \bar x$$
با ضرب یا تقسیم داده‌ها در مقدار ثابت، میانگین حسابی نیز تحت تاثیر قرار گرفته و در همان مقدار ضرب یا تقسیم خواهد شد. پس اگر y=b.x باشد، میانگین y برحسب میانگین x به صورت زیر خواهد بود.
پس می‌توان نتیجه گرفت که با تغییر مقیاس یا مکان روی داده‌ها، میانگین آنها نیز به همان شکل تغییر می‌یابد. پس اگر y=a+b.x، رابطه بین میانگین x و y به شکل زیر در خواهد آمد:
$$ \bar y = a + b \bar x$$
اگر میانگین وزن ۱۰ نفر برحسب کیلوگرم برابر با ۸۵ باشد، میانگین وزن آنها در زمانی که همگی یک وزنه 5 کیلوگرمی به دست دارند برحسب گرم برابر 90،000 گرم خواهد بود (a = 5000 , b = 1000). در این مثال ۵ کیلوگرم وزنه باعث جابجایی وزن همه افراد شده و تغییر مقیاس از کیلوگرم به گرم باعث تاثیر ضریب ثابت در محاسبه شده است. دقت کنید که میزان افزایش وزن نیز برحسب گرم در نظر گرفته شده است.
استفاده از میانگین حسابی برای داده‌هایی که به صورت تناوبی هستند، صحیح نیست. برای مثال میانگین دو زاویه ۱ و ۳۵۹ درجه، براساس میانگین حسابی برابر با ۱۸۰ درجه خواهد بود، در حالیکه به دو دلیل این مقدار صحیح نیست:
- این دو زاویه ممکن است به فرم ۱ و ۱- درجه و یا ۳61 و 719 نیز نوشته شوند که میانگین آنها برابر روش میانگین حسابی با ۱۸۰ درجه نخواهد بود.
- از آنجایی که میانگین به عنوان نقطه‌ای در نظر گرفته میشود که فاصله مقدارها حول آن، باید صفر باشد پس ۱۸۰ میانگین مناسبی نیست زیرا هر دو نقطه دارای فاصله ۱۷۹ درجه نسبت به روش میانگین حسابی ۱۸۰ درجه هستند.
بنا به دلایل بالا، انتخاب زاویه صفر درجه برای میانگین دو زاویه 1 و ۳۵۹ درجه به جای زوایه ۱۸۰ درجه مناسب به نظر می‌رسد.
میانگین هندسی
اگر داده‌ها به صورت تصاعد هندسی باشند، «میانگین هندسی» (Geometric Mean- GM) آنها با نقطه وسط داده‌ها (میانه) برابر خواهد بود. به همین علت این میانگین را هندسی می‌نامند. برای مثال اگر تصاعد هندسی ما به شکل 2، 4، 8، 16، 32 باشد میانگین هندسی برابر با $$\sqrt[5] = روش میانگین حسابی 8$$ خواهد بود.
میانگین هندسی مقادیر $$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$$ را می‌توان به کمک میانگین حسابی لگاریتم این مقدارها نیز بدست آورد، زیرا رابطه زیر بین میانگین هندسی و میانگین حسابی وجود دارد.
$$\mbox\;GM= log (a_1a_2a_3 \cdots a_n)^>=\frac(log a_1 + log a_2 + log a_3 + \cdots + log a_n)$$
از طرفی بر اساس هندسه نیز این میانگین قابل تفسیر است. طبق تشابه بین دو مثلث قائم‌الزاویه (برابری زاویه‌های مثلث‌ها) مشخص میشود که
پس $$h^2=pq$$. به این ترتیب میانگین هندسی برای دو عدد p و q برابر با h خواهد بود.
محدوده فرکانس در خطوط تلفنی بین ۳۰۰ تا ۳۳۰۰ هرتز است. با توجه به لگاریتمی بودن مقیاس فرکانس انتقال خطوط تلفن، میانگین این دو مقدار بر اساس میانگین هندسی محاسبه میشود که برابر با $$\sqrt = 995$$ هرتز خواهد بود، در حالیکه میانگین حسابی برای آنها 1800 هرتز است.
خصوصیات
با ضرب یا تقسیم داده‌ها در مقدار ثابت، میانگین هندسی نیز تحت تاثیر قرار گرفته و در همان مقدار ضرب یا تقسیم خواهد شد. پس اگر y=b.x باشد، میانگین هندسی y برحسب میانگین هندسی x به صورت زیر خواهد بود.
پس می‌توان نتیجه گرفت که با تغییر مقیاس روی داده‌ها، میانگین هندسی آنها نیز به همان شکل تغییر می‌یابد.
اگر فاصله مولکولی در آب 9- 10×0.275 و ارتفاع قله اورست برابر با 10 3 × 8.8 متر باشد، میانگین هندسی این دو برابر است با:
حال اگر این اندازه‌ها را با واحد سانتی‌متر معرفی کنیم (مقدارها در ۱۰۰ ضرب کنیم) میانگین هندسی نیز در ۱۰۰ ضرب خواهد شد.
میانگین همساز
میانگین حسابی را می‌توان عکس «میانگین همساز» (Harmonic Mean) معکوس داده‌ها در نظر گرفت. زیرا برای مقادیر $$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$$ رابطه زیر بین میانگین حسابی (AM) و میانگین همساز (HM) وجود دارد.
تفسیر هندسی نیز برای میانگین همساز وجود دارد. برای این کار در یک ذوزنقه قطرها را رسم کنید. از محل برخورد این قطرها خطی به موازات قاعده ترسیم کنید تا ذوزنقه را قطع کند، طول این خط برابر با میانگین همساز برای دو قاعده خواهد بود.
میزان کارکرد هفتگی برحسب ساعت برای چهار کارمند بخش انتشارات یک شرکت طبق جدول زیر ثبت شده است. هر کارمند در سال به میزان ۲۰۰۰ ساعت کار کرده ولی کارکرد هفتگی آنها در هفته‌های مختلف متفاوت است. متوسط زمان کارکرد هفتگی بخش انتشارات این شرکت، براساس میانگین همساز محاسبه میشود.
| کارمند | کل زمان کاری | تعداد هفته | متوسط زمان کاری در هفته (ساعت) |
| ۱ | 2000 | 40 | 50 |
| 2 | 2000 | 45 | 44.4444 |
| 3 | 2000 | 35 | 57.14286 |
| 4 | 2000 | 50 | 40 |
| جمع | 8000 | 191.587297 |
متوسط هفته‌های کاری طبق محاسبه میانگین همساز مقدار 41.75642 هفته خواهد شد و بر این اساس از تقسیم ۸۰۰۰ ساعت بر این میانگین (41.75662) متوسط ساعت کاری در هفته (191.5873056 ساعت) نیز استخراج میشود.
خصوصیات
با ضرب یا تقسیم داده‌ها در مقدار ثابت، میانگین همساز نیز تحت تاثیر قرار گرفته و در همان مقدار ضرب یا تقسیم خواهد شد. پس اگر y=b.x باشد، میانگین همساز y برحسب میانگین همساز x به صورت زیر خواهد بود.
بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که با تغییر مقیاس روی داده‌ها، میانگین همساز آنها نیز به همان شکل تغییر می‌یابد. در نتیجه اگر در مثال قبل به جای تعداد هفته، تعداد روزهای کاری را قرار می‌دادیم، (5=b، به این معنی که هر هفته شامل ۵ روز کاری باشد)، میانگین همساز برای روزهای کاری برابر با 5×41.75662= 208.7821 روز می‌شد.
ترتیب میانگین‌ها
با توجه به شیوه محاسبه این سه نوع میانگین می‌توان نشان داد که میانگین همساز تمایل دارد که به سمت مقادیر کوچکتر نزدیک شود، در نتیجه اگر میانگین حسابی را با AM و میانگین هندسی را با GM و در آخر میانگین همساز را با HM نشان دهیم، رابطه ترتیبی بین این سه میانگین به صورت زیر خواهد بود:
$$HM \leq GM \leq AM$$
و زمانی که همه مقدارها، برابر باشند هر سه میانگین یکسان می‌شوند؛ البته به شرط مثبت بودن.
اگر مطلب بالا برای شما مفید بوده است، احتمالاً آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز برایتان کاربردی خواهند بود.
دیدگاه شما